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Der Interquartilsabstand,cite-ref-cleff54-1-0[1] auch kurz Quartilsabstand genanntcite-ref-henze32-2-0[2] und mit IQAcite-ref-cleff54-1-1[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)cite-ref-wolframiqr-3-0[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

• Definition

• Beispiel

• Aufbauende Begriffe

• Einzelnachweise

Gegeben sei eine Stichprobe x 1 , x 2 , … … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} mit n {\displaystyle n} Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also x 1 ≤ ≤ x 2 ≤ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ≤ x n {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}} .

Des Weiteren sei x 0 , 25 {\displaystyle x_{0{,}25}} das untere Quartil und x 0 , 75 {\displaystyle x_{0{,}75}} das obere Quartil. Diese sind definiert als

x 0 , 25 = { 1 2 ( x n ⋅ ⋅ 0 , 25 + x n ⋅ ⋅ 0 , 25 + 1 ) , wenn n ⋅ ⋅ 0 , 25 ganzzahlig, x ⌊ ⌊ n ⋅ ⋅ 0 , 25 + 1 ⌋ ⌋ , wenn n ⋅ ⋅ 0 , 25 nicht ganzzahlig. {\displaystyle x_{0{,}25}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(x_{n\cdot 0{,}25}+x_{n\cdot 0{,}25+1}),&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}25{\text{ ganzzahlig,}}\\x_{\lfloor n\cdot 0{,}25+1\rfloor },&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}25{\text{ nicht ganzzahlig.}}\end{cases}}} x 0 , 75 = { 1 2 ( x n ⋅ ⋅ 0 , 75 + x n ⋅ ⋅ 0 , 75 + 1 ) , wenn n ⋅ ⋅ 0 , 75 ganzzahlig, x ⌊ ⌊ n ⋅ ⋅ 0 , 75 + 1 ⌋ ⌋ , wenn n ⋅ ⋅ 0 , 75 nicht ganzzahlig. {\displaystyle x_{0{,}75}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(x_{n\cdot 0{,}75}+x_{n\cdot 0{,}75+1}),&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}75{\text{ ganzzahlig,}}\\x_{\lfloor n\cdot 0{,}75+1\rfloor },&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}75{\text{ nicht ganzzahlig.}}\end{cases}}} .

Hierbei bezeichnet ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl x {\displaystyle x} auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise ⌊ ⌊ 1 , 2 ⌋ ⌋ = 1 {\displaystyle \lfloor 1{,}2\rfloor =1} und ⌊ ⌊ 3 , 99 ⌋ ⌋ = 3 {\displaystyle \lfloor 3{,}99\rfloor =3} .

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil:cite-ref-cleff54-1-2[1]

IQA = x 0 , 75 − − x 0 , 25 {\displaystyle \operatorname {IQA} =x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}

Betrachte die Stichprobe

25 ; 28 ; 4 ; 28 ; 19 ; 3 ; 9 ; 17 ; 29 ; 29 {\displaystyle 25;28;4;28;19;3;9;17;29;29}

mit n = 10 {\displaystyle n=10} Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

3 ; 4 ; 9 ; 17 ; 19 ; 25 ; 28 ; 28 ; 29 ; 29 {\displaystyle 3;4;9;17;19;25;28;28;29;29} .

Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man n ⋅ ⋅ 0 , 25 = 2 , 5 {\displaystyle n\cdot 0{,}25=2{,}5} , was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

x 0 , 25 = x ⌊ ⌊ n ⋅ ⋅ 0 , 25 + 1 ⌋ ⌋ = x ⌊ ⌊ 2 , 5 + 1 ⌋ ⌋ = x ⌊ ⌊ 3 , 5 ⌋ ⌋ = x 3 = 9 {\displaystyle x_{0{,}25}=x_{\lfloor n\cdot 0{,}25+1\rfloor }=x_{\lfloor 2{,}5+1\rfloor }=x_{\lfloor 3{,}5\rfloor }=x_{3}=9} .

Analog folgt

x 0 , 75 = x ⌊ ⌊ n ⋅ ⋅ 0 , 75 + 1 ⌋ ⌋ = x ⌊ ⌊ 7 , 5 + 1 ⌋ ⌋ = x ⌊ ⌊ 8 , 5 ⌋ ⌋ = x 8 = 28 {\displaystyle x_{0{,}75}=x_{\lfloor n\cdot 0{,}75+1\rfloor }=x_{\lfloor 7{,}5+1\rfloor }=x_{\lfloor 8{,}5\rfloor }=x_{8}=28} .

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

IQA = x 0 , 75 − − x 0 , 25 = 28 − − 9 = 19 {\displaystyle \operatorname {IQA} =x_{0{,}75}-x_{0{,}25}=28-9=19} .

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQAcite-ref-cleff54-1-3[1] oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation)cite-ref-wolframqd-4-0[4] abgekürzt wird. Er ist definiert alscite-ref-cleff54-1-4[1]

MQA = 1 2 IQA = 1 2 ( x 0 , 75 − − x 0 , 25 ) {\displaystyle \operatorname {MQA} ={\frac {1}{2}}\operatorname {IQA} ={\frac {1}{2}}\left({x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}\right)} .

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

MQA = 1 2 ⋅ ⋅ 19 = 9 , 5 {\displaystyle \operatorname {MQA} ={\frac {1}{2}}\cdot 19=9{,}5} .

cite-note-cleff54-11. ↑ Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.

cite-note-henze32-22. ↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.

cite-note-wolframiqr-33. ↑ Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).

cite-note-wolframqd-44. ↑ Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).